materi matematika smp

JARAK PADA BANGUN RUANG

JARAK PADA BANGUN RUANG

* Anda akan mempelajari cara menghitung jarak titik ke titik, jarak titik ke garis dan jarak titik ke bidang pada suatu bangun ruang, seperti kubus, balok, limas.
• Sebelum membahas masalah tersebut penting bagi Anda untuk memahami tentang garis tegak lurus bidang.

1. GARIS TEGAK LURUS BIDANG
•Ambil sebuah karton putih dan letakkan mendatar diatas meja belajar. Kemudian, ambil sebuah mistar siku dan letakkan dalam posisi berdiri tegak diatas karton.(1)
•Misalkan, karton merupakan bidang α, dan kedudukan awal mistar, yaitu BOA, dengan sudut BOA = 90. Anda dapat mengatakan bahwa garis BO berdiri tegak lurus terhadap bidang α. •Selanjutnya, ubahlah kedudukan mistar terhadap karton dengan memutar kedudukan A ke kedudukan A’ dengan O sebagai pusat. Anda akan memperoleh garis BO tegak lurus terhadap garis OA’ ( sudut BOA’= 90 ) dan terletak pada bidang α. Jika anda putar kedudukan A’ kedudukan A'', akan diperoleh garis BO tegak lurus terhadap garis OA'' ( sudut BOA”= 90 ) dan terletak pada bidang. Demikian seterusnya.


Uraian diatas menggambarkan dalil berikut :
•Dalil 1 : Jika sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang, garis ini akan tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang itu.


•Dalil 2 : Garis g tegak lurus bidang α , apabila sedikitnya garis g tegak lurus dengan dua garis yang berpotongan pada bidang α.

•Dalil 3 : Jika salah satu dari dua buah garis sejajar tegak lurus pada sebuah bidang, garis lainnya juga tegak lurus pada bidang.

AKSIOMA GARIS DAN BIDANG

AKSIOMA GARIS DAN BIDANG

lAksioma atau postulat adalah pernyataan yang diandaikan benar dalam sebuah sistem dan kebenaran itu diterima tanpa pembuktian. Dalam geometri ruang ada tiga buah aksioma yang penting. Ketiga aksioma itu diperkenalkan oleh Euclides (± 300 SM), seorang ahli matematika dari Alexandria.

Aksioma 1

lMelalui dua buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

Aksioma 2

lJika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

Aksioma 3

lMelalui tiga buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah bidang.

PENGERTIAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

PENGERTIAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

Bagian pembentuk bangun ruang adalah titik, garis dan bidang. Ketiga bagian ini disebut unsur-unsur ruang. Unsur-unsur titik, garis dan bidang dalam geometri merupakan istilah-istilah dasar. Sebagaimana kita ketahui bahwa istilah dasar adalah suatu istilah yang hanya dapat dideskripsikan atau dipaparkan.

Dengan demikian, titik, garis, dan bidang dapat dideskripsikan sebagaimana dalam uraian berikut ini :

1. TITIK

§Sebuah titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai ukuran (dikatakan tidak berdimensi). Sebuah titik digambarkan dengan memakai tanda noktah, kemudian dibubuhi dengan nama titik itu. Nama sebuah titik biasanya menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, P, Q atau R. Pada gambar diperlihatkan dua titik, yaitu titik A dan titik P.

2. GARIS

§Sebuah garis(dimaksudkan adalah garis lurus) dapat diperpanjang sekehendak kita. Namun mengingat terbatasnya bidang tempat gambar, sebuah garis hanya dilukiskan sebagian saja. Bagian dari garis ini disebut wakil garis. Garis hanya mempunyai ukuran panjang, tetapi tidak mempunyai ukuran lebar. Nama dari sebuah garis dapat ditentukan dengan menyebutkan nama wakil garis itu dengan memakai huruf kecil g, h, k, atau menyebutkan nama segmen garis dari titik pangkal ke titik ujung. Pada gambar diperlihatkan dua buah garis, yaitu garis g dan segmen garis AB.

3. BIDANG

§Sebuah bidang (dimaksudkan adalah bidang datar), dapat diperluas seluas-luasnya. Pada umumnya, sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian saja yang disebut sebagai wakil bidang. Wakil suatu bidang mempunyai dua ukuran, yaitu panjang dan lebar. Gambar dari wakil bidang dapat berbentuk persegi atau bujur sangkar, persegi panjang, atau jajargenjang. Nama wakil bidang dituliskan di daerah pojok bidang dengan memakai huruf α , β, γ atau H, U, V, W atau dengan menyebutkan titik-titik sudut dari wakil bidang itu.Pada gambar diperlihatkan beberapa bentuk bidang.

Luas Permukaan Bangun Ruang

Luas Permukaan Bangun Ruang

Luas Permukaan Bangun Ruang. Bangun ruang atau 3 dimensi atau biasa disingkat 3D, adalah bentuk dari benda yang memiliki panjang, lebar, dan tinggi. Istilah ini biasanya digunakan dalam bidang seni, animasi, komputer dan matematika. Bangun ruang yang dimaksud di sini adalah :kubus, balok, tabung, kerucut, limas segitiga, limas segiempat, dan prisma segitiga. Berikut ini gambar jaring-jaring bangun ruang tersebut.

1. Kubus

Kubus adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh enam bidang sisi yang berbentuk bujur sangkar. Kubus memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Kubus juga disebut bidang enam beraturan, selain itu juga merupakan bentuk khusus dalam prisma segiempat.

2. Balok

Balok adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tiga pasang persegi atau persegi panjang, dengan paling tidak satu pasang diantaranya berukuran berbeda. Balok memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Balok yang dibentuk oleh enam persegi sama dan sebangun disebut sebagai kubus.

3. Tabung

Tabung atau silinder adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh dua buah lingkaran identik yang sejajar dan sebuah persegi panjang yang mengelilingi kedua lingkaran tersebut. Tabung memiliki 3 sisi dan 2 rusuk. Kedua lingkaran disebut sebagai alas dan tutup tabung serta persegi panjang yang menyelimutinya disebut sebagai selimut tabung.

4. Kerucut

Kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralas lingkaran. Kerucut memiliki 2 sisi dan 1 rusuk. Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.

5. Limas Segitiga

Limas Segitiga adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segitiga dan sisi-sisi tegak berbentuk segitiga.

 
6. Limas Segiempat

Limas segiempat adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segiempat dan sisi-sisi tegak berbentuk segitiga.

7. Prisma Segitiga

Prisma Segitiga adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas dan tutup identik berbentuk segitiga dan sisi-sisi tegak berbentuk segiempat. Dengan kata lain prisma adalah bangun ruang yang mempunyai penampang melintang yang selalu sama dalam bentuk dan ukuran.

1. Gambar 1, Luas permukaan kubus dapat dicari dengan Rumus :
Luas = 6x s²
          = 6 x 10²
          = 6 x 100
          = 600 cm²
2. Gambar 2, Luas permukaan balok dapat dicari dengan Rumus :
Luas = 2(pl+pt+lt)
         =2((15 x 5) + (15 x 3) + (5 x 3))
         =2(75 + 45 + 15)
         =2x 135
         = 270 cm²
3. Gambar 3, Luas permukaan tabung dapat dicari dengan rumus :
Luas = 2πr(r+t)
         = 2 x 22/7 x 7 (7+10)
         = 44 x 17
         = 748 cm ²
4. Gambar 4, Luas permukaan kerucut dapat dicari dengan rumus : 
Luas = πr(r+s), misal s =10 cm
          = 22/7 x 7(7+10)
         = 22 x 17
         = 374 cm²
5. Gambar 5, Luas permukaan Limas Segitiga dapat dicari dengan rumus :
Luas = ½ ( axt1) + ½(bxt2) + ½(cxt3)
         = ½ (10 x 15) + ½ (10 x 15) + ½(10 x 15)
         = 75 + 75 + 75
        = 225 cm²
6. Gambar 6, Luas permukaan Limas Segiempat dapat dicari dengan rumus :
Luas = pl + 2(pxt1+ lxt2), misalnya t = 7 cm
          = (12x6) + 2((12x7) +(6x7))
          = 72 + 2(84 +42)
          = 72 + 252
          = 324 cm²
7. Gambar 7, Luas Permukaan Prisma Segitia dapat dicari dengan rumus :
Luas = at + bt + ct +2 x ct1
          = (5 x 10) + (5 x 10) + (8 x 10) + 2(8 x 3)
          = 50 + 50 + 60 + 48
          = 208 cm² 

Persegi atau Bujur Sangkar

Persegi atau Bujur Sangkar

ersegi atau biasa juga disebut bujur sangkar merupakan bangun datar yang semua sisinya sama panjang. Persegi mempunyai empat buah sisi.

 Secara umum sifat-sifat persegi atau bujur sangkar adalah mempunyai empat sisi yang sama panjang, mempunyai empat sudut siku-siiku 90⁰, mempunyai dua garis diagonal yang sama panjang, selain itu juga mempunyai empat simetri lipat dan empat simetri putar.

Untuk mencari luas  dan keliling persegi digunakan rumus

 L = Sisi X Sisi

K = 4 x Sisi

Contoh soal sederhana

Hitunglah luas dan keliling persegi yang mempunyai panjang sisi 7 cm ?

Penyelesaian :          Luas       = sisi x sisi

= 7 cm x 7 cm = 49 cm²

Keliling   = 4 x sisi

= 4 x 7 cm = 28 cm

Persegi Panjang

Pengertian Persegi panjang adalah bangun datar yang berbentuk bujur sangkar dengan dua sisi yang saling berhadapan sejajar dan sama panjang dengan pasangannya masing-masing dimana sisi yang terpanjang disebut panjang dan sisi yang lebih pendek disebut lebar.
Sifat-sifat Persegi panjang adalah sisi yang berhadapan sama panjang, keempat sudutnya sama besar yaitu 90⁰, kedua garis diagonalnya sama panjang, memiliki dua simetri lipat dan dua simetri putar.
Rumus luas dan keliling Persegi panjang
L = p x l
K = 2(p+l)
Contoh soal sederhana persegi panjang
Sebuah persegi panjang memiliki panjang 10 cm dan lebar 6 cm. Hitunglah luas dan keliling bangun tersebut?
Penye :
L      = p x l   = 10 cm x 6 cm = 60 cm²
K      = 2(p+l)   = 2 (10 cm + 6 cm)  = 32 cm

Segitiga

Secara umum segitiga adalah bangun datar yang dibentuk dari tiga buah sisi dan tiga sudut.

Macam-macam Segitiga

Menurut besar sudut segitiga dibagi dalam tiga jenis yaitu:

• Segitiga siku-siku merupakan sebuah bangun segitiga yang salah satu sudutnya adalah 90⁰.

• Segitiga lancip merupakan sebuah bangun segitiga yang ketiga sudutnya adalah sudut lancip
• Segitiga tumpul merupakan sebuah bangun segitiga yang salah satu sudutnya adalah sudut tumpul

Menurut panjang sisinya, segitiga dibagi menjadi tiga jenis yaitu :

• Segitiga sama kaki merupakan sebuah bangun segitiga yang memiliki dua sisi sama panjang dan sudut-sudut alasnya sama besar. Segitiga sama kaki memiliki satu simetri putar, dan dapat menempati bingkainya dengan tepat menurut dua cara.
• Segitiga sama sisi merupakan sebuah bangun segitiga yang ketiga sisi-sisinya sama panjang. Segitiga sama sisi memiliki tiga simetri putar dan dapat menempati bingkainya sebanyak tiga kali.
• Segitiga Sembarang merupakan sebuah bangun segitiga yang ketiga ukuran panjang sisi-sisinya tidak ada yang sama.

Rumus Luas dan Keliling segitiga

L      = ½ x alas x tinggi

K      = sisi1 + sisi2 + sisi3

  = jumlah dari ketiga sisinya

Contoh soal sederhana segitiga

Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisinya 6 cm. Hitunglah luas dan keliling segitiga tersebut!

Penye : L      = ½ x alas x tinggi
AD = DB yaitu 2 cm

        Maka t²   = BC² – DB²

= 6² – 3²

= 36 – 9

= 25

t       =√25

= 5 cm

Jadi luas segitiga sama kaki tersebut

L      = ½ x 6 x 5

= 15 cm²

K      = 6 cm + 6 cm + 6 cm

= 18 cm